2012センター試験の確率問題の簡単な解き方
受験から何年もたっているが、センター試験問題を解いている。なぜか最近毎年恒例になりつつある。(去年の結果）
数学1Aの第4問、確率の問題。解きながら、これもっと簡単に解けるんじゃないのかなと感じた。一応普通にといて、改めて問題を見てみると、驚くほど簡単な解き方に気づいたので、ブログに書いてみる。
[問題](抜粋）
1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す。
次のように得点を定める。
●取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない場合は,得点を0点とする。
●取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある場合,この5枚を書かれている数の小さい順に並べ,5と書かれたカードが小さい方からk番目にあるとき,得点をk点とする。
得点が0点となる確率は[ク]/[ケ]である。得点が1点となる確率は[コ]/[サシス]で,得点が2点となる確率は[セ]/[ソタ],得点が3点となる確率は[チ]/[ツ]である。
また,得点の期待値は[テ]/[ト]点である。
詳しい問題、回答、分析などは、新聞社や大手予備校のサイトを参照のこと。
http://mainichi.jp/life/edu/exam/center/graph/sugaku1A/index.html
http://dn.fine.ne.jp/dn/b/002/center/mondai_k/mk_202.html
1分で答えが出てしまう？
ここで、5枚のカードの中に５があって得点できる場合をあたりと呼ぶことにする。当たった場合、5枚のうち５はどの位置にあるんだろうか？
５ってのは1から9のちょうど真ん中にあるから、何回もやって平均すれば平均の位置は真ん中つまり3番目になり、当たった場合の平均得点は3になるだろうと、直感的にわかるし、正しそうである。
では当たる確率は？1枚当たりの入った9枚から5枚引くんだから5/9でよさそうである。
すると答えの期待値は3*5/9＝5/3と求まる。これであっているのである。
これでいいの？
実に簡単で、普通な発想に基づく求め方。多分このように考えて解いた人、あるいは後で気づいた人も何人もいるだろう。特殊なテクニックだとは思わない。
ただ、問題が順列組み合わせを使って解くような誘導があるために、発想がそっちに固定されてしまいがちになるんだと思う。この誘導にも配点があるためにそれをたどらないといけないのだが、最後の期待値だけを求めるならばむしろ余計な計算をさせる邪魔なものだなと思わざるを得ない。
なぜ5/9なのか
マークシートだから、直感的に正しそうで正解すればokなのだが、ちょっと論理的な説明を考えてみる。
「9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す」と問題にあるが、裏になっている9枚のカードから5枚を選ぶとしても同じである。9枚から5枚を選んで（まだめくらずに）5枚と4枚に分ける。当たりカードはどこにあるだろうか。こう考えると、当たる確率が5/9になることは納得できるだろう。（同様に麻雀で13枚の配牌の中に赤５ピンがある確率は13/134（約9.6％）である。）
当たった場合の期待値はなぜ3なのか
このサイトが参考になった。
受験数学かずスクール センター試験2012年度数学1Aの第4問、確率の問題の解説
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-456.html
当たった場合、カード1枚について平均+1/2点というのである。カードが4以下なら、それによって位置が１つ後ろに行って1点増加する。その確率は4/8なので1枚当たり1/2点と。
こう考えるとわかりやすいだろうか。当たった場合には、まず５を取り出して、列(最初は空）の左端に置く。このとき1点まず入る。残りのカードはいったん裏にして、1枚づつめくって適切な位置においていくという状況で考えてみる。1枚めくって、5より小さければ置いてある５より左に置かれるので、５の位置がひとつ右にずれて、1点追加される。5より大きければ５より右に置かれるので点数は増えない。1点追加される確率は4/8で、1枚当たり＋1/2点の点数増加効果（期待値)がある。これを4回繰り返すから4＊1/2点と最初の1点を合わせて3点というわけである。
ここで注意したいのは、最初に１などをめくって得点が増えたなら次のカードの期待値が下がるというようなことはないということである。あくまでも思考実験として1枚ずつ置いているのであって、実際は同時に5枚めくって並べる。それぞれのカードが５より大きいかどうかは9枚から5枚を引いた瞬間に確定している（と書かなければならないところを見るとこの説明はわかりにくいかな、、）。
一般化まで簡単にできそう
こんなに簡単に期待値が求まるなら、当たりカードや引く枚数を変数にした場合もすぐ求まりそうである。
2012年1月17日火曜日
2011年1月26日水曜日
超久しぶりに2011センター試験をといて見た
こないだ国語の問題を見たついでに解いて見た。そしたらなんとなく他の科目も解いてみたくなったので、次々とやっていくうちに、せっかくだからと5教科全部解いてしまった。他にすることもあるだろうに、興味もつと止まらない傾向があるんだよな自分。
国語 144（評論50、小説31、古文18、漢文45)
何の準備もしてなかったのに漢文ほぼ満点じゃん。こんなことなかったぞ。理由を考えるに、内容が評論だったからなんだろうなあ。つまり小説（古文も小説だったし、）は苦手という傾向は変わってなかったわけだ。
英語（筆記） 182
これはさすがに点数上がった。まあ大学や仕事で使ってたから下がってたらやばいんだけど。なんとhttp://nyushi.yomiuri.co.jp/11/に、リスニングの音声まであったので、これもやってみた。
英語（リスニング） 44(筆記と足して226、200点満点に換算すると181)
簡単なんで満点取れる？と思ったけどだめだったか。つうか、TOEICとか受けてると、1回聞いてさっさと選ばないといけないから、この2回聞く形式に慣れないわ。すべての選択肢を吟味して慎重に選択するとかやらないとだめなのか。
問13とか、なんのためらいもなく感覚的に１を選んじゃったからな。だって、12時に来てシャンプーして、帰ってランチにするのが一番いいんじゃないの？ランチって12時に食べるって決まってるの？店としても、正解の2時半よりも、12時の方がいいだろう。12時にこの客をすましておかないと、2時半に来るかもしれない客をのがすぞ。
実はこれ聞いたとき、答えは１時か1時半かなとおもって、選択肢を見たらなかったので、しょうがなく１を選んだんだっけ。なぜそう感じたか。2時半で満足なら、わざわざ「早いほうがいいんだけとランチがある」なんていわないだろう。これは、もっと早い時間にやってよというお願いのために言ったと思うのが自然。当然新たな時刻の提示があると思ったらないって、、2時半が正解だってことだと、このあとさらに女性は粘るのか？いづれにしろ女性の発言の意図がわからない。4択だからといって、こんな不自然なやりとりがまかりとおっていいんだろうか。
地理Ｂ 81
昔から地図好きだったからなあ。あと時事的な問題でニュースやテレビ見てたからわかったのも多かった。ドイツは緑の党で脱原発めざしてるとか、NASAはヒューストンにあるとか。
第4問の問１、さっきのサイトで｢アとウの区別は難しい。アフリカ南部に高原が多いことを知っていたかどうか」とか分析されてたけど、あれ、マダガスカルを見るだけでも解けるだろ。アとウを逆に選ぶってことは、アフリカ南部には海岸沿いに1000m級の外輪山があって、その中に500m級のくぼみが広がってることになるぞ。そんなものがあったら世界遺産じゃないか？
政治・経済 84
なんだこのとっつきやすさは。クイズ解いてるようだった。最近の問題も多いわけだが、ニュースの知識でとけたぞ。これならニュース好きの中学生でもかなりとれるんじゃない？私が受けたときはもっと難しかったような。選択肢も3行とか普通にあったし。
数学I・Ａ 43、数学II・Ｂ 67
実は1時間くらいさらっと準備してやったんだけど、何なんだこの点数＞＜。数学は得意だったんだけど、、つうか時間が足りなさ過ぎた。いや自分が問題解くのが遅くなったんだな。何回も、答えが□の形にあわなくて計算ミスに気づいて戻ったり。倍角の公式はともかく、2次方程式の解の公式までその場で導出してるようじゃ論外だよね。(ちなみに時間無制限で答えが出るまでやったら、81、87だった）
まあマーク式は正攻法でやる必要ないしね。センター数学はマーク式に対応したテクニックをいろいろ使わないと。きれいに図を書いて定規で測るとか。変数に数値入れるとか。√□って、2,3,5,6,7しかないから実質5択だし。
全体的に誘導がじゃまに感じた。特に確率。普通に確率や期待値答えるほうがやりやすい。おかげでセンター形式の確率ではじめて取りこぼした、、
数学II・Ｂのほうがよかったのは、統計とプログラムを選択できたからなんだよね（37/40)。なんでみんなこっちを選択しないんだろう。プログラムが専門だったからそう感じるのも知れないけど、計算ミスさえしなければ毎年でも満点取れそうだ。それほどとっつきやすさが違った。
化学I 36
これは予習ゼロでやったのは無謀だった。とにかく物質の分子式がほとんど忘却のかなただし。不斉炭素ってなんだっけ？けん化って？
化学って暗記科目だったんだな。あのころはこれ解けたんだろうな。あれ？社会科もそうじゃなかったか？でもニュース見てると日ごろ用語を目や耳にするからな。
物理I 83
さすがに化学でこりたので教科書読み返した。数学みたいに計算でやられるかなと思ったら、定性的な問題が多くて助かった。選択肢に数式があるのも大ヒント。基本的な法則は少ないから、その場で考えて何とかなることも多いし。
あと電気は大学でもやったし、中学校のときラジオ作ったりしてたからな。でも右ねじの法則を使うやつ、左手の法則と混同して向きを逆にしたのが悔やまれる。その2問で8点だったし。
物理のほうが化学より実生活で出てくることが多いのかな？車乗る人は、加速度とか遠心力とか意識するし、地震関係のニュースや特集では地震波や、共振、津波とか説明するしね。
で、10科目で719かあ、、化学がなければ76％じゃん。って自分理系だったんだけど、、
久しぶりなんでケアレスミスも多かったし、来年やったら上がりそう、、でも今からセンターの点数上げても何の役にも立ちそうはないけど。
国語 144（評論50、小説31、古文18、漢文45)
何の準備もしてなかったのに漢文ほぼ満点じゃん。こんなことなかったぞ。理由を考えるに、内容が評論だったからなんだろうなあ。つまり小説（古文も小説だったし、）は苦手という傾向は変わってなかったわけだ。
英語（筆記） 182
これはさすがに点数上がった。まあ大学や仕事で使ってたから下がってたらやばいんだけど。なんとhttp://nyushi.yomiuri.co.jp/11/に、リスニングの音声まであったので、これもやってみた。
英語（リスニング） 44(筆記と足して226、200点満点に換算すると181)
簡単なんで満点取れる？と思ったけどだめだったか。つうか、TOEICとか受けてると、1回聞いてさっさと選ばないといけないから、この2回聞く形式に慣れないわ。すべての選択肢を吟味して慎重に選択するとかやらないとだめなのか。
問13とか、なんのためらいもなく感覚的に１を選んじゃったからな。だって、12時に来てシャンプーして、帰ってランチにするのが一番いいんじゃないの？ランチって12時に食べるって決まってるの？店としても、正解の2時半よりも、12時の方がいいだろう。12時にこの客をすましておかないと、2時半に来るかもしれない客をのがすぞ。
実はこれ聞いたとき、答えは１時か1時半かなとおもって、選択肢を見たらなかったので、しょうがなく１を選んだんだっけ。なぜそう感じたか。2時半で満足なら、わざわざ「早いほうがいいんだけとランチがある」なんていわないだろう。これは、もっと早い時間にやってよというお願いのために言ったと思うのが自然。当然新たな時刻の提示があると思ったらないって、、2時半が正解だってことだと、このあとさらに女性は粘るのか？いづれにしろ女性の発言の意図がわからない。4択だからといって、こんな不自然なやりとりがまかりとおっていいんだろうか。
地理Ｂ 81
昔から地図好きだったからなあ。あと時事的な問題でニュースやテレビ見てたからわかったのも多かった。ドイツは緑の党で脱原発めざしてるとか、NASAはヒューストンにあるとか。
第4問の問１、さっきのサイトで｢アとウの区別は難しい。アフリカ南部に高原が多いことを知っていたかどうか」とか分析されてたけど、あれ、マダガスカルを見るだけでも解けるだろ。アとウを逆に選ぶってことは、アフリカ南部には海岸沿いに1000m級の外輪山があって、その中に500m級のくぼみが広がってることになるぞ。そんなものがあったら世界遺産じゃないか？
政治・経済 84
なんだこのとっつきやすさは。クイズ解いてるようだった。最近の問題も多いわけだが、ニュースの知識でとけたぞ。これならニュース好きの中学生でもかなりとれるんじゃない？私が受けたときはもっと難しかったような。選択肢も3行とか普通にあったし。
数学I・Ａ 43、数学II・Ｂ 67
実は1時間くらいさらっと準備してやったんだけど、何なんだこの点数＞＜。数学は得意だったんだけど、、つうか時間が足りなさ過ぎた。いや自分が問題解くのが遅くなったんだな。何回も、答えが□の形にあわなくて計算ミスに気づいて戻ったり。倍角の公式はともかく、2次方程式の解の公式までその場で導出してるようじゃ論外だよね。(ちなみに時間無制限で答えが出るまでやったら、81、87だった）
まあマーク式は正攻法でやる必要ないしね。センター数学はマーク式に対応したテクニックをいろいろ使わないと。きれいに図を書いて定規で測るとか。変数に数値入れるとか。√□って、2,3,5,6,7しかないから実質5択だし。
全体的に誘導がじゃまに感じた。特に確率。普通に確率や期待値答えるほうがやりやすい。おかげでセンター形式の確率ではじめて取りこぼした、、
数学II・Ｂのほうがよかったのは、統計とプログラムを選択できたからなんだよね（37/40)。なんでみんなこっちを選択しないんだろう。プログラムが専門だったからそう感じるのも知れないけど、計算ミスさえしなければ毎年でも満点取れそうだ。それほどとっつきやすさが違った。
化学I 36
これは予習ゼロでやったのは無謀だった。とにかく物質の分子式がほとんど忘却のかなただし。不斉炭素ってなんだっけ？けん化って？
化学って暗記科目だったんだな。あのころはこれ解けたんだろうな。あれ？社会科もそうじゃなかったか？でもニュース見てると日ごろ用語を目や耳にするからな。
物理I 83
さすがに化学でこりたので教科書読み返した。数学みたいに計算でやられるかなと思ったら、定性的な問題が多くて助かった。選択肢に数式があるのも大ヒント。基本的な法則は少ないから、その場で考えて何とかなることも多いし。
あと電気は大学でもやったし、中学校のときラジオ作ったりしてたからな。でも右ねじの法則を使うやつ、左手の法則と混同して向きを逆にしたのが悔やまれる。その2問で8点だったし。
物理のほうが化学より実生活で出てくることが多いのかな？車乗る人は、加速度とか遠心力とか意識するし、地震関係のニュースや特集では地震波や、共振、津波とか説明するしね。
で、10科目で719かあ、、化学がなければ76％じゃん。って自分理系だったんだけど、、
久しぶりなんでケアレスミスも多かったし、来年やったら上がりそう、、でも今からセンターの点数上げても何の役にも立ちそうはないけど。
2011年1月19日水曜日
センター試験の小説で、、
なんか話題になってたので小説は苦手なんだけど見てみた。
２ｃｈ大学受験板に専用スレhttp://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1295091676/が立ったほど。
問題などはここhttp://www.toshin.com/center/にあり。
小説はほとんど読まないので、小説を読んだのってかなり久しぶりかもしれない。
一番目にとまったのは、（舞台の干潟の水質が）BOD14PPMというくだり。
昔はもっと目にした言葉。脚注にあったが、自分は知ってたし、どのていどの水質かイメージできた。
ほとんどの人が知らなかったみたい。yahoo知恵袋にも質問があったから答えといたわ。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1353807463
BOD14が基準内って、どんな基準だったんだよｗ
まあ環境基準がゆるくないと、企業や行政が困ることがあったんだろう。汚染は目に余るのに「基準内だから大丈夫ですよ」っていいつつも内心ではそう思ってない公務員。
今でも似たようなシチュエーションはありそうだ。
http://www.eic.or.jp/ecoterm/?act=view&serial=1467
によると
--
水中の有機物が微生物の働きによって分解されるときに消費される酸素の量のことで、河川の有機汚濁を測る代表的な指標。
環境基準では、河川の利用目的に応じて類型別に定められている。また水質汚濁防止法（1970）に基づく排水基準が定められている。BODが高いとDOが欠乏しやすくなり、10mg/L以上で悪臭の発生等がみられる。
（ppmは百万分の一なのでmg/lと同じ）
２ｃｈ大学受験板に専用スレhttp://yuzuru.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1295091676/が立ったほど。
問題などはここhttp://www.toshin.com/center/にあり。
小説はほとんど読まないので、小説を読んだのってかなり久しぶりかもしれない。
一番目にとまったのは、（舞台の干潟の水質が）BOD14PPMというくだり。
昔はもっと目にした言葉。脚注にあったが、自分は知ってたし、どのていどの水質かイメージできた。
ほとんどの人が知らなかったみたい。yahoo知恵袋にも質問があったから答えといたわ。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1353807463
BOD14が基準内って、どんな基準だったんだよｗ
まあ環境基準がゆるくないと、企業や行政が困ることがあったんだろう。汚染は目に余るのに「基準内だから大丈夫ですよ」っていいつつも内心ではそう思ってない公務員。
今でも似たようなシチュエーションはありそうだ。
http://www.eic.or.jp/ecoterm/?act=view&serial=1467
によると
--
水中の有機物が微生物の働きによって分解されるときに消費される酸素の量のことで、河川の有機汚濁を測る代表的な指標。
環境基準では、河川の利用目的に応じて類型別に定められている。また水質汚濁防止法（1970）に基づく排水基準が定められている。BODが高いとDOが欠乏しやすくなり、10mg/L以上で悪臭の発生等がみられる。
（ppmは百万分の一なのでmg/lと同じ）
登録:
投稿 (Atom)